平成24年度千葉県公立高校「前期選抜」 数学図形問題
問題文は次の通りです。
下の図の正方形ABCDにおいて、2つの対角線の交点をEとする。辺CD上に2点C、Dと
異なる点Fをとり、線分BFと線分ACとの交点をGとする。また、点Aから線分BFに垂線
AHをひき、線分AHと線分BDとの交点をIとする。
このとき(1)~(3)の問いに答えなさい。
(図は次の通りです。)
問題の(1)と(2)で△AIEと△BGEの合同を証明してAI=BGであることを証明します。
そのあとの(3)の問題が次の通りです。
(3)BH=2cm、HG=3cmとなるとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。
チャレンジしてみてください。
(ヒントは↓です。
まずはヒントを見ずに考えてみてください。)
ヒントなしでいかがですか?
(ヒント1)
補助線をひかなくても解くことができます。
↓ヒント2もあります。
(ヒント2)
相似の図形を見つけます。
(解答につながる相似の三角形を見つけてください。)
解答は↓「詳細はこちら」をクリックしてください。
下のような相似の三角形が見つかりましたか?
この三角形が見つかれば正解にたどりつきます。
解答
△BHIと△AHGが相似であることを証明します。
△AIE≡△BGEなので、
∠EAI=∠IBH
∠AEI=∠BHI=∠90°
2角が等しいので
△BHI∽△AHG
HIをaとします。
BH=2+3=5=AI
BM:AH=HI:HG
2:(5+a)=a :3
a (5+a )=6
a (2乗)+5a=6
この二次方程式をといて
a=1
△ABHで三平方の定理を使ってABを求めます。
2(2乗)+(5+1)(2乗)=AB(2乗)
AB>0なので
AB=√40
AB=BC=2√10になります。
正方形ABCDの面積は
AB×BCなので
2√10×2√10=40となります。
答えは40平方センチメートルです。